M.C. Escher

Visie

De visie van een mathematicus

In 1956 leerde Escher de wiskunde docent Bruno Ernst kennen. Deze was sterk geïntrigeerd door Eschers 'mathematisch getinte' werk. Door uitvoerige analyse van Eschers prenten en voorstudies, lange gesprekken met de graficus zelf en een uitgebreide briefwisseling, kwam Bruno Ernst na verloop van tijd tot een systematiek waarbinnen al dat mathematisch getinte werk was onder te brengen. Op de volgende pagina's vindt u van zijn hand een bespreking van de basisprincipes achter dit werk, geënt op de door hem ontwikkelde systematiek, die hieronder wordt uiteengezet. De bijdrage van Bruno Ernst wordt afgesloten meteen interessante 'toegift' over Eschers astronomie-hobby. 

 

DE ANALYSE

In het werk van Escher zijn duidelijk twee verschillende perioden te onderscheiden: vóór 1937, waarin landschappen het sterkst vertegenwoordigd zijn, en vanaf 1937, met werk dat een sterk mathematische inslag heeft. Ik had mij tot doel gesteld, structuur en samenhang te vinden in het werk uit deze 'mathematische periode.' Escher zelf kon mij daarover geen informatie verschaffen. Een analyse van de prenten naar onderwerp en doelstelling leverde verrassende resultaten op. Het bleek niet alleen mogelijk, duidelijk enige perioden af te bakenen, maar ook verschafte zij een instrument om eenheid, samenhang en evolutie in het werk te onderkennen en te komen tot een karakteristiek van het exploratieveld van Escher. Een eerste stap was het inventariseren van de beeldinhoud van de prenten. Dat leverde categorieën op als spiegels, regelmatige veelvlakken, spiralen, banden van Möbius, gebouwen en dieren. Dit resultaat gaf nog niet veel inzicht; ik kon alleen verder komen door ook de intentionele inhoud, dus de 'bedoeling', van de prenten in de inventarisatie te betrekken. Om subjectiviteit hierbij zoveel mogelijk te vermijden, hield ik veelvuldige ruggespraak met Escher. 

 

DE CATEGORIEËN

Na enige onbevredigende pogingen met uitgebreidere lijsten ontstond een lijst van elf categorieën van beeldinhoud en of intentie: 

1 regelmatige ruimtelijke figuren; 2 regelmatige vlakverdeling; 3 spiralen; 4 Möbius banden; 5 perspectief; 6 metamorfosen en kringlopen; 7 oneindigheidsbenaderingen; 8 het conflict tussen het afbeelden op een plat vlak en de driedimensionale werkelijkheid die wordt afgebeeld; 9 de doordringing van meer werelden; 10 ruimte-anomalieën (onmogelijke figuren); 11 reactiviteiten. 

Op een lijst met een groot aantal prenten en tekeningen van Escher, in chronologische volgorde opgenomen (voor de volledigheid vanaf 1920), tekende ik aan welke van deze elf categorieën op welke prent of tekening van toepassing waren. Bij het bestuderen van deze inventarislijst bleken er na de landschap periode drie opeenvolgende perioden duidelijk naar voren te komen, waarin Escher steeds door ten minste twee categorieën werd geboeid: 

ca. 1937-ca. 1946 categorieën 6, 8 en 9 

ca. 1946-ca. 1955 categorieën 1, 5 en 9 

ca. 1955-1969 categorieën 7 en 10.

Categorie 2 (regelmatige vlakverdeling) bleek niet tot een bepaalde periode beperkt te blijven; eigenlijk had Escher zich hier- mee al vanaf 1922 beziggehouden, en hij ging ermee door tot bijna aan het einde van zijn leven. De categorieën 3, 4 en 11I bleken zich achteraf niet voldoende te onderscheiden om een afzonderlijke plaats in het geheel te rechtvaardigen. 

 

DE ZEVEN THEMATA

Op grond van het bovenstaande kwam ik tot een geheel van zeven themata, waarmee Escher zich in zijn 'mathematische' prenten heeft beziggehouden; hierna worden deze verder uitgewerkt.

1 Doordringing van werelden. Zie categorie 9 hierboven.

2 De illusie van ruimtelijkheid. Zie categorie 8. 

3 Regelmatige vlakverdeling. Zie de categorieën 2 en 6. 

4 Perspectief· Zie de categorieën 5 en 11. 

5 Regelmatige lichamen en spiralen. Zie de categorieën 1, 3 en 4. 

6 Het onmogelijke. Zie categorie 10. 

7 Het oneindige. Zie categorie 7· 

 

INSPIRATIEBRONNEN

Op grond van mijn analyse van de themata die in Eschers werk aan de orde komen, is een duidelijke conclusie te trekken omtrent zijn inspiratiebronnen. Dit waren:

-de structuur van het platte vlak 

-de structuur van de ruimte 

-de relatie tussen beide. 

 

DOORDRINGING VAN WERELDEN

Een kind dat voor het eerst in een spiegel kijkt, is verrast als het merkt dat de zo reëel lijkende wereld achter de spiegel in feite 'ongrijpbaar' is; deze schijnwerkelijkheid wordt echter al gauw niet meer als 'vreemd' ervaren. In de loop der tijd verdwijnt de verbazing, althans bij de meeste mensen. Voor hen is een spiegel uitsluitend een gebruiksvoorwerp, een hulpmiddel om zichzelf te zien zoals zij door anderen worden gezien. Voor Escher was het spiegelbeeld echter geen doodgewone zaak. Vooral de vermenging van de ene werkelijkheid (de spiegel zelf en de omgeving daarvan) met de andere (het beeld in de spiegel) fascineerde hem. In zijn vroege werk zijn daarvan al voorbeelden te zien. Zo maakte hij in 1920 een grote pentekening van het interieur van de Sint Bavo in Haarlem. Ongeveer in het midden van de tekening bevindt zich de spiegelende bol van een kroon- luchter. In deze bol is het grootste deel van het interieur weerspiegeld; ook Escher zelf en zijn ezel met tekenpapier zijn te zien. De Sint Bavo en de bol bevinden zich hier dus op dezelfde plaats, zij doordringen elkaar als het ware. Dit doordringingsthema speelt een centrale rol in de litho Stilleven met spiegel uit 1934. De omlijsting van de kapspiegel en de voorwerpen eromheen benadrukken de realiteit van de spiegel zelf. Tegelijkertijd laat de prent een andere realiteit zien, namelijk die van de straat, die door de weerspiegeling een deel van de kamer is geworden. Maar dat is nog niet alles: de voor de spiegel staande of hangende voorwerpen worden ook weerspiegeld en zijn daardoor op hun beurt een deel van het straattafereel. De realiteit van de kamer en die van de straat zijn zo op ingenieuze wijze met elkaar verbonden. 

Bolspiegelprenten Een soortgelijke situatie is terug te vinden in een aantal van Eschers bolspiegelprenten. In Stilleven met bolspiegel uit 1934 ligt een spiegelende bolfles op een krant en een boek. Naast de fles staat een Perzische 'mensvogel', een geschenk van Eschers schoonvader. Op dezelfde plaats als de fles is de 'tweede werkelijkheid' te zien: Escher in zijn atelier, tekenend op een lithografische steen. Ook hier worden de twee werelden met elkaar verbonden door de weerspiegeling van nabije voorwerpen (mensvogel, krant en boek), die dus tweemaal zichtbaar zijn.

In de litho Hand met spiegelende bol uit 1935 houdt Escher de bol in zijn (eveneens weerspiegelde) hand, waarmee hij dus ook zichzelf en zijn atelier 'in de hand houdt'. Het zou moeilijk bondiger kunnen! Hij heeft het bolspiegelthema later dan ook nog maar eenmaal voor een 'grote' prent gebruikt, de litho Drie bollen II uit 1946. De spiegelende bol is daar onderdeel van een 'vergelijkende studie'; ernaast zijn twee even grote bollen afgebeeld, de ene ondoorzichtig, en de andere helder, met water gevuld. Escher vond de met water gevulde bol interessant omdat deze tegelijkertijd werkt als lens (met kopstaand beeld) en als bolspiegel. Alle drie de bollen worden in het glimmende tafelblad weerspiegeld; de linker en de rechter bol worden weerspiegeld in de middelste; en als klap op de vuurpijl is het hele tafereel nog eens zichtbaar als weerspiegeling van het vel papier waarop de graficus tekent! 

Escher realiseerde zich, dat er ook in de natuur voorbeelden te vinden zijn van schijnbare doordringingen van werelden. Hierop gebaseerde prenten zijn de mezzotint Druppel uit 1948, de linoleumsnede Rimpeling uit 1950 en de houtsnede Modderplas uit 1952. Het best geslaagde voorbeeld is echter de litho Drie werelden uit 1955. De directe wereld wordt hier gevormd door de drijvende bladeren, die het wateroppervlak markeren. De wereld onderwater krijgt gestalte in de vis, en wat boven water is (de bomen) zien we als weerspiegeling. Dit alles is op zo volmaakt natuurlijke wijze 'dooreen geweven', dat de oppervlakkige beschouwer Eschers bedoeling niet eens zal doorgronden.

Toverspiegel Een apart geval is de litho Toverspiegel uit 1946. Escher speelt hier met de hele spiegel-idee, à la Lewis Carroll. De fabeldieren achter de spiegel blijken even (of even weinig) reëel te zijn als die vóór de spiegel. Beide categorieën worden uit de spiegel geboren; de ontstane fabeldieren eindigen hun kortstondige leven als in elkaar grijpende vlakverdelingspatronen, eerst zwart, later wit, op de 'vloer' waarop de spiegel staat. Escher benadrukt het onwerkelijke van de fabeldieren door een 'echte' bol vóór de spiegel geen reële spiegelbeeldige tegenhanger te geven; de tweede 'echte' bol ligt gewoon achter de spiegel en heeft geen relatie met de eerste. Andere doordringingen Ook in enige prenten zonder spiegeleffecten heeft Escher getracht een in elkaar doordringen van twee werelden tot stand te brengen. Een voor de hand liggend voorbeeld is de houtsnede Patrijspoort uit 1937, waarin de patrijs- poort zelf als 'realiteit' ervaren doordat de onmiddellijke omgeving ervan is afgebeeld samenvalt met het in de verte varende vrachtschip. In een andere houtsnede uit hetzelfde jaar, Stilleven en straal, wordt de beslotenheid van de kamer waarin de beschouwer zit, geprojecteerd op de straat waarop hij uitkijkt.  De groteske vertekening wordt duidelijk als de boven en onderrand van de prent worden weggesneden: de boeken worden structuren van twee verdiepingen hoog, en de tabakspot verandert in een enorme zuil.


Fragment uit de pentekening van het interieur van de Sint Bavo uit 1920


De vertekening in de houtsnede Stilleven en straat springt sterk naar voren als de boven- en onderand worden 'afgesneden'

 

DE ILLUSIE VAN RUIMTELIJKHEID

Veel van Eschers prenten ontlenen een groot deel van hun aantrekkingskracht aan het feit dat ze dingen suggereren die in feite niet bestaan, soms zelfs niet kunnen bestaan. In tegenstelling tot de irrationaliteit van de surrealisten, is de context bij Escher strikt rationeel; elke opgeroepen illusie komt voort uit een volkomen beredeneerde constructie.

Iedere ruimtelijke afbeelding op een plat vlak berust op illusie. Het tekenvlak is plat, tweedimensionaal; wij ervaren het erop afgebeelde echter als ruimtelijk, driedimensionaal. Dat is eenvoudig te verklaren: het netvlies in ons oog kunnen we als vlak beschouwen. Het door de ooglens daarop geprojecteerde beeld van de (driedimensionale) ruimte om ons heen is dus ook vlak, dat wil zeggen tweedimensionaal. Of wij nu naar een van wit karton gemaakte kubus kijken, of naar een uit negen lijnstukjes bestaande tekening, maakt voor ons geen verschil: het netvliesbeeld blijft hetzelfde (hierbij laten we het stereoscopische - met beide ogen - zien buiten beschouwing; de wereld om ons heen zien we óók ruimtelijk als we met één oog kijken). Van jongs af zijn we gewend, het tweedimensionale netvliesbeeld driedimensionaal te interpreteren. 

Escher vond het fascinerend dat de menselijke hersenen tweedimensionale afbeeldingen met alle geweld ruimtelijk willen maken. Een tijd lang heeft hij in zijn prenten speelse pogingen gedaan, deze illusie van ruimtelijkheid 'door te prikken'; hij riep de beschouwer als het ware toe: 'Kijk maar, 't is plat en 't blijft plat!' Tevergeefs, zoals hij zich heel goed realiseerde. De illusie houdt stand tegen de verdrukking in.


De houtgravure Drie Bollen1 met daarnaast een foto die de bedoeling van deze prent illustreert


Deze negen lijnstukjes geven de suggestie van een ruimtelijk voorwerp, een kubus


In de houtsnede Dorische zuilen uit 1945 zijn twee tekeningen van zuilen enige malen omgevouwen en gebogen; daarna is het resultaat ingetekend in een celvormige ruimte. Ondanks de verkreukeling blijven de zuilen voor ons driedimensionale voorwerpen.

In de houtsnede Drie bollen I, ook uit 1945, overigens een staaltje van houtsnijvakmanschap, zijn géén bollen afgebeeld, maar platte vlakken. De netwerken van witte ellipsen suggereren de bolvorm. In de bovenste figuur zien we het platte vlak van voren; de driedimensionale suggestie ligt hier voor de hand. De middelste figuur is uit een tekenblad geknipt waarop de bovenste e figuur is afgebeeld, en vervolgens gevouwen. De vouw zou de illusie van ruimtelijkheid moeten verstoren; maar nee, we maken er meteen weer een driedimensionaal voorwerp van. Onderaan plaatste Escher nog eens de bovenste figuur, maar nu 'op de bodem' liggend; we weigeren echter, dit te geloven en we zien een langgerekt ei!

In de houtsnede Draak uit 1952 steekt een draak zijn kop dwars door een vleugel en zijn staart door het lijf. Dat is heel goed mogelijk; de hele draak is immers maar een plat ding, zoals iedereen kan zien. 'Maar de draak zelf schijnt daar geen genoegen mee te nemen', zei Escher, want hij bijt in zijn staart, zoals alleen maar in drie dimensies mogelijk zou zijn. Hij steekt de draak met mijn pogingen.'

Ook in de litho Tekenen uit 1948 is het conflict tussen vlak en ruimtelijk pakkend uitgedrukt. Voor elk van de drie dimensionale, tekenende handen is de andere getekende hand vlak. In een aantal prenten laat Escher schijnbaar drie dimensionale wezens zich uit het vlak losmaken en/of in het vlak opgaan. De litho Reptielen uit 1943 is daarvan een fraai voorbeeld. De ruimtelijkheid van de reptielen is maar schijn; ze zijn wel uit het vlak van de tekening gekropen, maar ze bevinden zich nog steeds in het vlak van de prent; de terugkeer in het schetsboek betekent dus geen wezenlijk verlies.

Ook Eschers metamorfosen voltrekken zich soms van plat naar ruimtelijk of omgekeerd; zo veranderen in de houtsnede Dag en Nacht uit 1938 meetkundige vlakjes in vliegende vogels. 


Modderplas, driekleuren houtsnede, februari 1952


Fragment van een textieldruk (kakemono), een vroege poging van Escher op het gebied van de regelmatige vlakverdeling

 

REGELMATIGE VLAKVERDELING 

Escher benadrukte steeds weer, in woord en geschrift, dat de regelmatige vlakverdeling hem meer interesseerde dan alle andere onderwerpen die hij in zijn werk aanpakte. Ook zijn tekst voor het in 1958 verschenen boek Regelmatige vlakverdeling getuigt hiervan. Op de achtergronden van deze grootste hobby van Escher zullen we hier wat nader ingaan.

Een regelmatige vlakverdeling is in principe een legpuzzel met exact gelijke stukjes, dus op het eerste gezicht weinig boeiend. Figuur 1 geeft enige voor de hand liggende voorbeelden: ruitjespapier, stenen muren met en zonder verband, parallellogrammen, driehoeken, een honingraat. Vijfhoeken zijn niet te gebruiken; hetzelfde geldt voor veelhoeken met meer dan zes hoeken. 

Laten we de mogelijkheden van de rechthoek eens beschouwen. De ruitjes van figuur 1a zijn niet zo interessant; halen we aan de rechterkant van ieder vierkant iets weg en plakken we dit er aan de linkerkant weer aan (figuur 2), dan wordt het beeld al levendiger. Verhuizen we vervolgens een halve cirkel van de onder naar de bovenkant (figuur 3), dan ontstaat een nog aardiger geheel. Zo zouden we eindeloos kunnen doorgaan en allerlei boeiende patronen kunnen maken. 

Escher heeft in de jaren na 1936, toen hij - na zijn tweede bezoek aan het Alhambra - echt gegrepen was geraakt door de regelmatige vlakverdeling, een eigen systematiek ontwikkeld, waarin hij alle mogelijkheden op dit gebied kon onderbrengen. Hij legde het in 1941 en 1942 vast in een werkschrift van zo'n veertig pagina's, dat zich nu in het Haags Gemeentemuseum bevindt; dit gebruikte hij naderhand als leidraad bij het ontwerpen van nieuwe vlakverdelingen. Zijn systeem ziet er in grote trekken als volgt uit: 1 Vierhoeken: a één motief en twee kleuren; b één motief en drie kleuren; c twee motieven en twee kleuren. 2 Driehoeken: a met drietallige assen; b met zestallige assen; c met drie- en zestallige assen. 

Eschers systeem is logisch weinig bevredigend, omdat voor iedere onderverdeling steeds van andere gezichtspunten wordt uitgegaan. Wel logisch is het wiskundige systeem, dat wordt gebruikt in de kristallografie; sommige onderdelen daarvan zijn trouwens door Escher zelf overgenomen (hij had nogal wat kristallografische vakliteratuur bestudeerd vóór hij tot de formulering van zijn eigen systeem kwam). Wij zullen een korte uiteenzetting over het wiskundige systeem geven.

We denken ons een regelmatige vlakverdeling die zich eindeloos in alle richtingen uitstrekt. Daarop wordt een dunne glasplaat of transparant papier gelegd. Hierop wordt de regelmatige vlakverdeling overgetrokken. We hebben nu een origineel en een duplicaat, die elkaar volkomen bedekken. Indien we het duplicaat over het origineel bewegen, zien we in de meeste gevallen een warrig dubbelbeeld, maar bij enige zeer bepaalde bewegingen van het duplicaat zal dit het origineel weer zó bedekken, dat het lijkt of het helemaal niet van zijn plaats is geweest. We onderscheiden vier verschillende bewegingen van het duplicaat: I verschuiving (translatie); 2 spiegeling; 3 schuifspiegeling (glijspiegeling); 4 draaiing. (rotatie).

We zullen nu eerst elk van deze bewegingen afzonderlijk bespreken en, om het zo eenvoudig mogelijk te houden, telkens een vrijwel rechthoekig motief als voorbeeld kiezen. 

Verschuiving We bekijken figuur 4. Het motiefje is links boven getekend. Als we het duplicaat van de regelmatige vlakverdeling over de lengte van de rechthoek naar rechts verschuiven, wordt het origineel weer zó bedekt, dat alleen nog de oorspronkelijke regelmatige vlakverdeling te zien is. Ditzelfde kunnen we ook bereiken door verschuiving naar boven over de breedte van een rechthoek, en natuurlijk ook bij een verschuiving over bijvoorbeeld drie maal de lengte naar rechts en daarna twee maal de breedte naar onder. Precies hetzelfde geldt voor de vervormde rechthoekjes van figuur 5· 

Spiegeling Als we met viltstift een figuur of enige letters op een glazen plaat tekenen en deze daarna omklappen (figuur 6), zien we het spiegelbeeld van wat we oorspronkelijk getekend hebben. Op dezelfde wijze kunnen we het duplicaat van een regelmatige vlakverdeling omklappen, zodat origineel en spiegelbeeld op elkaar komen te liggen. Doen we dit bij figuur 4, dan zal het duplicaat het origineel in geen enkele stand meer kunnen bedekken; deze regelmatige vlakverdeling laat dus geen spiegeling toe. Bij figuur 7 kan dit echter wel. Trekken we op origineel en duplicaat van het rechthoekje linksboven de lijn s, dan zal bij het omklappen van het duplicaat om de lijn s, dit duplicaat het origineel bedekken zonder dat enige verdere verschuiving nodig is. We noemen s een spiegel as. Hetzelfde kunnen we doen met de hele regelmatige vlakverdeling van figuur 7. Het blijkt dat er zelfs nog een andere soort spiegel as (s) in de figuur zit: dit is een 'toegift'. Figuur 7 gaat dus niet alleen door verschuivingen in zichzelf over, maar ook door spiegelingen t.o.v. de assen sen s'. 

Schuifspiegeling Figuur 8 is afgeleid van het steenverband dat in figuur I c is getekend. We zien direct, dat de rijen met visjes telkens elkaars spiegelbeeld zijn. Toch zullen we nergens een spiegel as kunnen tekenen, zodanig dat het duplicaat bij het omklappen op zo'n as het origineel bedekt. Wel zijn assen gl en gz aan te brengen, die iets bijzonders vertonen. Wentelen we het duplicaat om één van deze assen, en verschuiven we het daarna langs deze as één rij naar boven of naar beneden, dan volgt weer volkomen bedekking. Omdat hier de regelmatige vlakverdeling in zichzelf overgaat door een spiegeling, gevolgd door een verschuiving langs de spiegel as, wordt deze beweging schuifspiegeling (of glijspiegeling, vandaar de notatie g voor de as) genoemd. In figuur 8 zijn ook gewone verschuivingen mogelijk: naar opzij over één visje, maar in verticale richting over twee visjes! Dit maakt niet alleen duidelijk dat de schuifspiegeling iets bijzonders is (daar was voor bedekking slechts een verticale verschuiving over één visje nodig), maar ook dat de eenheid waaruit deze vlakverdeling is opgebouwd (de verschuiving cel, waarover dadelijk meer) twee visjes bevat: beeld en spiegelbeeld samen, zoals het figuurtje links bovenaan bij figuur 8. 


Draaiing.  Als we in figuur 4 door de regelmatige vlakverdeling en het duplicaat verticaal een speld steken en we draaien het duplicaat over een hele cirkel (driehonderdzestig graden), dan bedekt het duplicaat het origineel weer. Maar dat is niets bijzonders; we zouden dit met elke willekeurige figuur kunnen doen, ook met een portret of met een landschap. Doen we dit echter met het motiefje van figuur 9 en zetten we de speld precies in het midden van dat motiefje (linksboven), dan zal het duplicaat het origineel weer bedekken na draaiing over een halve cirkel (honderdtachtig graden); bij draaiing over een hele cirkel zal er tweemaal bedekking optreden. Het midden van het motiefje noemen we daarom een tweetallig draaipunt.

De regelmatige vlakverdeling van figuur 9 heeft tweetallige draaipunten in het centrum der motiefjes. Niet alleen het motiefje waarin we de speld steken, gaat bij een halve draai in zichzelf over, maar de hele regelmatige vlakverdeling. Als toegift vinden we nog drie andere groepen van draaipunten: de middens der lange zijden van het motiefje, de middens der korte zijden en de hoekpunten (schema rechtsboven in figuur 9). 

De vier genoemde bewegingsmogelijkheden liggen ten grondslag aan de wiskundige indeling van de regelmatig vlakverdeling. Voor we daarvan iets meer vertellen, voeren we eerst het begrip verschuiving cel in. Dit is het stukje van de legpuzzel, dat zich alleen door verschuiving (dus niet door rotatie of spiegeling) steeds herhaalt. Alle regelmatige vlakverdelingen zijn opgebouwd uit verschuivingscellen. Bij een bepaalde regelmatige vlakverdeling ligt echter de vorm van de verschuiving cel allerminst vast. In figuur 4 hebben we links bovenaan wel een verschuiving cel getekend, maar er zijn vele andere mogelijkheden. Zo kan het in figuur 10 getekende rechthoekje ABCD even goed als de verschuiving cel van figuur 4 worden opgevat. Het hoeft zelfs geen rechthoek te zijn; ook het figuurtje rechts onder dat rechthoekje kan als verschuiving cel fungeren. De oppervlakte en de 'beeldinhoud' van een verschuiving cel liggen echter wel vast. Wat men in een bepaald geval als verschuiving cel kiest, hangt af van persoonlijke voorkeur. De verschuiving cel kan soms meer (gelijke of verschillende) motieven bevatten. Zo kan een visje uit de onderste rij van figuur 8 nooit door verschuiving overgaan in een visje uit de daarboven liggende rij. De verschuiving cel bevat hier een visje én zijn spiegelbeeld, bijvoorbeeld zoals linksboven in figuur 8 is getekend.

Als we bij het analyseren van een regelmatige vlakverdeling eerst de verschuiving cel opzoeken en dan mogelijke spiegelassen, schuifspiegelassen en draaipunten, krijgen we een vrij goed inzicht in de structuur van de desbetreffende vlakverdeling. 

Het unieke van Eschers regelmatige vlakverdelingen is, dat hij vanaf het eerste ogenblik getracht heeft, ze op te bouwen uit herkenbare voorstellingen. Hij creëerde zijn motieven op systematische wijze, door vervorming van driehoeken, vierhoeken of zeshoeken. In Regelmatige vlakverdeling illustreert hij dit door een vlakvulling met parallellogrammen in drie stappen te transformeren in een vlakvulling met vogels die alleen verschuivingen toelaat (houtsnede I). Toevoegingen rechts worden van de linkerkant afgenomen en omgekeerd, terwijl dit ook aan onder- en bovenkant gebeurt. Het gaat heel geleidelijk, maar toch hebben de oorspronkelijk abstracte figuren uiteindelijk vogelvormen aangenomen.

Deze werkwijze bracht Escher tot zijn metamorfoseprenten en kringloopprenten, waarin de ene vorm geleidelijk in de andere overgaat, van het ongedifferentieerde naar het gedifferentieerde en (bij kringlopen) weer terug. Twee vlakverdelingsprenten zullen we hier wat uitvoeriger bespreken. 

Reptielen In deze litho uit 1943 kruipt een reptiel uit het platte vlak van een tekenboek, om na een hele reis daarin weer terug te keren. De in het tekenboek afgebeelde vlakverdeling heeft alleen drietallige draaipunten. De verschuiving cel bevat drie reptielen; kiezen we als verschuiving cel een ruit (figuur 11), dan bevat deze twee bijna gave reptielen, terwijl we de andere in stukjes en beetjes eromheen verspreid vinden. Bij de schepping van het reptiel ging Escher uit van een zeshoek; hij sneed er zes stukjes uit en plakte ze er op de juiste plaatsen aan de buitenkant weer aan (figuur 12). Op drie hoekpunten van de zeshoek liggen de (drietallige) draaipunten (figuur 13); in A komen drie koppen samen, in B drie poten en in C drie knieën. 

Ruiter Aan deze driekleuren-houtsnede uit 1946 ligt een vlakverdelingsstudie uit datzelfde jaar ten grondslag. De vlakverdeling is afgeleid van het steenverband met iets verschoven stenen (figuur I c), zoals in figuur 14d is aangegeven. Twee van deze 'stenen' sa- men vormen de verschuiving cel, die een ruiter-met-paard én hun spiegelbeeld bevat. Eén rechthoek bevat precies één (versneden) ruiter-met-paard. In figuur 14 is aangegeven hoe Escher met drie congruente insnijdingen en uitstulpingen tot de ruitervorm kwam; een staaltje van grote verbeeldingskracht, binnen de sterke beperkingen die een rechthoek oplegt. De vlakverdeling heeft alleen glijspiegelassen; ze zijn in figuur 14d aangegeven. 

 

PERSPECTIEF

Escher heeft zich geruime tijd beziggehouden met de eigenaardigheden van het perspectivisch afbeelden. Al vroeg maakte hij een origineel gebruik van de wetten van de klassieke perspectiefleer. In de houtsnede Toren van Babel uit 1928 en in de houtgravure Sint Pieter uit 1935 vestigde hij de aandacht op het nadir, een punt recht onder de voeten van de staande waarnemer; hij deed dit door een ongebruikelijk, extreem 'standpunt' te kiezen. Het nadir wordt daardoor verdwijn- punt, een functie die in 'normale' afbeeldingen wordt vervuld door één of meer op de horizon gelegen vertepunten. Een andere ongebruikelijke manier van afbeelden ontstaat als de kunstenaar een punt recht boven zijn hoofd (het zenit) als verdwijnpunt kiest. Escher heeft in een paar verrassende prenten laten zien dat zenit, nadir en vertepunt zeer relatieve begrippen zijn. Het gaat om de mezzotint Galerij uit 1946, de houtgravure Andere wereld uit 1947 en de litho Relativiteit uit 1953, waarin die begrippen onderling verwisselbaar blijken. In twee andere prenten, de litho Boven en onder uit 1947 en de litho Trappenhuis uit 1951 heeft hij bovendien de door hemzelf ontwikkelde gebogen perspectieflijnen gebruikt, een buitengewoon interessante vondst. Escher heeft de overwegingen die hem tot het invoeren van gebogen perspectieflijnen brachten, in een lezing onder woorden gebracht. Wij vatten deze als volgt samen. 

Eerst legt Escher de klassieke perspectief-leer uit, met verdwijnpunten op de horizon. Vervolgens geeft hij voorbeelden van situaties waarbij het verdwijnpunt in het zenit of in het nadir ligt. Over het laatste zegt hij: 'We zien dat als we ergens op de twintigste verdieping van een wolkenkrabber uit het raam naar beneden kijken.' In zijn aantekeningen staat hierbij een schets (I).

Dan komt Escher op de gebogen perspectieflijnen. 'Stel dat wij, kijkende uit ons raam op de twintigste verdieping, tegenover ons een huis van veertig verdiepingen hebben. Wij krijgen nu in ons hoofd om een tekening te willen maken van die héle wolkenkrabber, van beneden tot boven toe. Als wij naar beneden kijken, zien wij de straat en de basis van het gebouw; kijken wij steil naar boven, dan zien wij de rand van het platte dak. Hoe moeten wij nu zulk een dynamisch, cinematografisch beeld, waarbij ons oog van zenit tot nadir honderd tachtig graden doorloopt, statisch weergeven op het vlak van ons papier? Laten we het eerst eens in drie stadia doen. Ten eerste: naar beneden kijkende: dan krijgen wij een beeld dat veel lijkt op wat wij reeds hebben getekend. Ten tweede: naar de horizon kijkende: dus op een hoogte van de twintigste verdieping tegenover ons. De loodrechte lijnen lopen nu ook werkelijk verticaal op ons papier. Ten derde: steil naar boven kijkende, naar de dakrand: dan zien wij de verticalen weer convergeren naar het zenit-verdwijnpunt. 

Om van deze drie afzonderlijke beelden één doorlopende voorstelling te maken, trekken wij, van zenit tot nadir, kromme lijnen, die aan de overeenkomstige lijnen der drie stadia raken.' Escher gaf hierbij weer een schets (2). 

Andere wereld We bevinden ons in een vreemde kamer waarin boven, onder, links, rechts, vóór en achter naar willekeur verwisseld kunnen worden, al naar gelang we door het ene, dan wel door het andere raam naar buiten willen kijken. Het midden van de prent is steeds verdwijnpunt; vertepunt, als we door de ramen links en in het midden kijken. Dit is ook het beeld dat wij normaal zouden verwachten. Kijken we door het raam boven en het aansluitende rechts, dan is hetzelfde verdwijnpunt nadir geworden; we bekijken nu het maanlandschap van bovenaf. Het centrale raam is nu ineens vloer van de kamer geworden. Als we kijken door beide ramen rechtsonder is het verdwijnpunt zenit geworden: we staan nu op de maan en richten onze blik naar de sterrenhemel boven ons. Ook het centrale raam is van functie verwisseld: het is nu plafond. ) Heel knap is hier de oplossing die Escher bedacht om het éne verdwijnpunt een drievoudige functie te geven, waarbij hij er tevens in is geslaagd om drie paar vrijwel gelijkwaardige raamvlakken in het vertrek aan te brengen. In de mezzotint Galerij was dat nog niet gelukt. Hier zien we bij het kijken door de twee tegenover elkaar liggende kamermuren hetzelfde, normale maanlandschap. Het bovenraam geeft een kijk naar beneden, en het onder raam een kijk naar boven, terwijl in het centrum een lange donkere tunnel overblijft die weinig logisch is, en die Escher dan ook helemaal niet bevredigde. 

Boven en onder Wie zich in de prent wil verdiepen, doet er goed aan de bovenste helft met een wit vel papier af te dekken. We staan dan tussen een toren (rechts) en een huis. Het huis is van boven met twee arcaden aan de toren verbonden. Recht voor ons zien we een zonnig plein, dat we ergens in Zuid-Italië zouden kunnen situeren. Links kunnen we langs twee trappen de eerste verdieping van het huis bereiken, waar een meisje uit het raam naar beneden kijkt, in woordeloos gesprek met de jongen op de trap. Het huis staat kennelijk op de hoek van een straat en is verbonden met een ander huis links buiten de prent. Midden boven het niet afgedekte deel van de prent zien we een tegelpartij als plafond, waarvan het middelpunt ons zenit is. Alle verticalen buigen zich naar dit punt toe. 


Het netwerk voor Trappenhuis


Schets 1 en Schets 2

Verschuiven we nu het afdekblad zo, dat alleen de bovenste helft van de prent zichtbaar is, dan krijgen we nog eens precies hetzelfde tafereel te zien: het plein, de palmboom, het hoekhuis, de jongen en het meisje, de trappen en de toren. Maar nu is het net alsof we van heel hoog op het tafereel neerzien. De tegels aan de onderrand van het zichtbare deel van de prent liggen hier op de vloer. Het middelpunt ervan bevindt zich recht onder onze voeten. Wat eerst plafond was, is nu dus vloer: het zenit is nadir geworden en alle verticalen zijn gebogen lijnen naar dit nadir. 

Nu pas bekijken we de prent in haar totaal. De tegel partij komt drie maal voor: beneden als vloer, boven als plafond en in het midden met een dubbele functie: plafond en vloer tegelijk.

In de toren rechts wordt, als we die als één geheel bekijken, de spanning tussen boven en onder het grootst. Even boven het midden staat er een raam naar beneden gekeerd; vlak ernaast, even onder het midden, staat een raam naar boven. De hoekkamer ter plaatse krijgt daardoor wel heel bijzondere eigenschappen. Door deze kamer moet een diagonaal lopen die niet zonder gevaar overschreden kan worden. Op deze diagonaal wisselen boven en onder, vloer en plafond. Wie meent dat hij stevig op de vloer staat, zal met één stap over de diagonaal plotseling van het plafond naar beneden hangen! Escher heeft dit gebeuren niet getekend, maar bewust gesuggereerd met de beide hoekramen. Dit alles wordt opgeroepen door de dubbele functie van het centrale verdwijnpunt, dat tegelijkertijd fungeert als zenit en als nadir. 

In het midden van de prent is nog meer te beleven. Laten we in gedachten eens de trappen afdalen naar de ingang van de toren. Als deze trap binnen doorloopt, wandelen we ondersteboven naar de top van de toren; maar wat zullen we daar aantreffen als we door het bovenste raam naar buiten kijken? Zien we nu de daken van het plein op de onderste helft, of kijken we op één of andere manier tegen de onderkant van het plein? Bevinden we ons hoog in de lucht of zitten we onder de grond? 

Boven en onder is een prent vol verassingen. Bedenk eens het volgende: bovenaan de trap waar de jongen zit, is er een standpunt om duizelig van te worden. We kunnen niet alleen naar beneden kijken (naar de centrale tegelvloer), maar nog verder: naar beneden-beneden. Hangen we nu of staan we? En wat voelt de jongen op de bovenste helft als hij zich over de leuning buigt en naar zichzelf onder aan de trap kijkt? Kan het bovenste meisje ook de onderste jongen zien? 

Trappenhuis Ook na 1947 bleef het probleem van de relativiteit der verdwijnpunten en van de gebogen perspectieflijnen Escher bezighouden. In 1951 kwam hij tot een generalisatie: kies een aantal verdwijnpunten en verbind deze om en om met bundels gebogen lijnen. Men krijgt dan een netwerk voor ruimtelijke voorstellingen waarin doorlopend onder, boven en voorwaartse richting niet van elkaar te onderscheiden zijn. Een invulling hiervan vinden we in de litho Trappenhuis, een willekeurig aantal waarvan tot een lange verticale strook aan elkaar kan worden geplakt. Hieronder is het door Escher getekende netwerk voor Trappenhuis afgebeeld; het heeft drie verdwijnpunten.

 

REGELMATIGE LICHAMEN EN SPIRALEN 

Escher was sterk in kristallen geïnteresseerd. Eigenlijk ging het hem niet zozeer om de kristallen zelf, als wel om de onafzienbare hoeveelheid mogelijkheden voor het opbouwen van regelmatige ruimtelijke figuren, zoals die in kristalvormen tot uiting komen. Daarbij beschouwde hij de natuur als een soort collega in het vak, die hij zeer bewonderde.

Zelf beperkte hij zich niet tot de in de natuur voorkomende kristalvormen, noch tot de klassieke regelmatige (zogeheten 'platonische') lichamen. Ook allerlei stervormige lichamen hadden zijn belangstelling. Deze ontstaan bijvoorbeeld als twee of meer eenvoudige lichamen (kubussen, achtvlakken enz.) elkaar doordringen. Hij maakte modellen in o.m. hout en dik papier. Ook het Verblifa-trommeltje is aan deze hobby ontsproten.

In zijn prenten wilde Escher uitdrukking geven aan zijn enthousiasme; hij was zich er echter van bewust, dat hij voor dit onder- werp geen maximale belangstelling van de gemiddelde prentliefhebber kon verwachten. Illustratief is in dit verband wat hij op 21 mei 1961 in een brief aan zijn zoon George schreef over de houtsnede Vier regelmatige lichamen: 'Voorzeker een prent, die in geringe mate appelleert aan de smaak van het publiek en dus wel erg slecht aan de man gebracht zal kunnen worden. Maar ik ben er zelf écht blij mee. Als je me nou vraagt: waarom doe je toch zulke gekheden, zulke absolute objectiviteiten, die niets persoonlijks meer hebben? Dan kan ik alleen maar antwoorden: ik kan het niet laten.'


Vier door Escher vervaardigde modellen van stervormige lichamen

Twee bazuinblazers ter weerzijde van de inversiegrens in  Hol en Bol


Het trapje van professor Schouten, het princiepe van het netwerk voor Prentententoonstelling en de driebalk van Roger Penrose

Eerder had Escher regelmatige lichamen (al dan niet elkaar doordringend) verwerkt in onder meer de mezzotint Kristal uit 1947, de houtsnede Sterren uit 1948, de houtsnede Dubbele planetoïde uit 1949, de litho Tegenstelling uit 1950, de litho Zwaartekracht uit 1952, de houtsnede Viervlak-planetoïde uit 1954 en de litho Platwormen uit 1959. In de litho Water val uit 1961 zijn ze als ornament toegepast.

Zwaartekracht De litho Zwaartekracht toont een interessant regelmatig lichaam, een sterdodecaëder. Zorgvuldige bestudering van deze prent laat zien, dat dit lichaam kan worden opgebouwd uit vijfpuntige sterren (bijvoorbeeld van karton), die op listige wijze van uitsparingen zijn voorzien, zodat ze in elkaar kunnen grijpen. Het is dan mogelijk, de sterdodecaëder te laten bevolken dor twaalf vierpotige wezens zonder staart (de piramiden waarin de wezens zitten, worden gevormd door steeds vijfsterpunten; ze zijn vijfzijdig en hebben dus maar vijf openingen voor de uitstekende lichaamsdelen). 

Platwormen Escher ontdekte dat tetraëders (regelmatige viervlakken) en octaëders (regelmatige achtvlakken) in bepaalde combinaties zó kunnen worden gestapeld, dat ze een ruimte geheel vullen. In de litho Platwormen speelt hij met zulke bouwstenen. Het ontstane bouwwerk vertoont hoofdzakelijk hoeken van zestig graden, wat een wel heel ongewone architectuur oplevert! In de 'aardse' bouwkunst domineren immers hoeken van negentig graden. 

Spiralen Eschers belangstelling voor bijzondere ruimtelijke constructies komt ook naar voren in een aantal prenten met ruimtelijke spiralen. De eerste hiervan, de houtsnede Spiralen uit 1953 is bijzonder geslaagd. Escher had inspiratie opgedaan door een (lelijke en perspectivisch onjuiste) afbeelding van een spiraalvormig gewonden ring in een zestiende-eeuws Italiaans boekwerk. Het was voor hem een uitdaging om te komen tot een perspectivisch volmaakte en bovendien esthetische constructie; daarenboven verzwaarde hij de opgave. Hij liet de door de spiralen gevormde 'buis' steeds dunner worden, zodat er in plaats van een ring, een in zichzelf terugkerende spiraal ontstond. Het resultaat, dat een tiental minutieuze voorstudies vergde, is dus een uit spiralen opgebouwde spiraal: een 'super spiraal'. 

 

HET ONMOGELIJKE 

In 1963 hield Escher in Hilversum een lezing die geheel aan 'het onmogelijke' was gewijd; hij illustreerde zijn betoog met eigen prenten. In zijn inleiding vertelde hij wat hem bewoog tot het maken van deze prenten.

'Soms lijkt het mij, of wij allemaal behept zijn met een drang, of wij bezeten zijn met een verlangen naar het onmogelijke. De werkelijkheid om ons heen, de driedimensionale wereld die ons omringt, is ons te gewoon, te saai, te alledaags. Wij hunkeren naar het on of bovennatuurlijke, het onbestaanbare, het wonder.'

In een lezing in Amsterdam, ook in 1963, zei Escher: 'ik meen, dat een onbestaanbare situatie pas dán goed in het oog springt, als de onmogelijkheid niet op het eerste gezicht aan de dag treedt. Als je de aandacht wilt vestigen op iets onbestaanbaars, dan moet je trachten eerst jezelf, en daarna je toehoorders, te bedotten, door je verhaal zó op te dienen, dat het element van onmogelijkheid versluierd is, zodat een oppervlakkige toehoorder het niet eens opmerkt. Er moet een zekere raadselachtigheid in zijn, die niet onmiddellijk in het oog springt.'

Dat Eschers 'onmogelijke figuren' geheel aan deze eis voldoen, blijkt wel uit de populariteit van juist deze groep prenten. Het gaat hier om een welomschreven soort onmogelijkheden, namelijk 'quasi-ruimtelijkheden'. Dit zijn schijnbaar driedimensionale bouwsels; ze kunnen wél op een plat vlak worden getekend, maar als ruimtelijke figuren zouden ze onmogelijk kunnen bestaan.

De mogelijkheden om zulke prenten te kunnen maken, zijn beperkt; ze zijn afhankelijk van vrij zeldzame meetkundige configuraties. Het merendeel van de grond figuren ontleende Escher aan anderen; hij herschiep ze in concrete voorstellingen. Deze zijn zo geraffineerd van opbouwen detail keuze, dat ze op ons overkomen als afbeeldingen van werkelijk bestaanbare situaties. 

 

Hol en bol 

Professor J. A. Schouten gaf Escher een witgeschilderd metalen trapje, waaraan het 'binnenstebuiten zien' treffend kan worden gedemonstreerd. Met één oog bekeken, wisselt het beeld dat in onze hersenen wordt opgeroepen voortdurend. Nu eens zien we iets dat volkomen overeenstemt met wat onze handen kunnen betasten, dan weer worden ineens alle inspringende hoeken uitspringend en omgekeerd, zodat we een voorwerp lijken waar te nemen dat er helemaal niet is. Dit verschijnsel was aanleiding tot het maken van de litho Hol en bol 1955. 

Bij nauwkeurige waarneming is deze prent een visuele verschrikking. Ogenschijnlijk, en dan nog maar op het eerste gezicht, is het een symmetrisch bouwsel: het linkerdeel is zo ongeveer het spiegelbeeld van het rechter, en de overgang van links naar rechts is geleidelijk en heel natuurlijk. Toch gebeurt er bij het overschrijden van het midden iets ontzettends: alles wordt letterlijk binnenstebuiten gekeerd. Bovenkant wordt onderkant, voorkant wordt achterkant. Mensen, hagedissen en bloempotten verzetten zich tegen deze inversie; we identificeren ze te duidelijk met tastbare realiteiten waarvan we de binnenstebuiten vorm niet kennen. Maar ook zij moeten hun tol betalen bij het overschrijden van de grens: ze komen op zo'n vreemde wijze in hun relatie tot de omgeving te staan, dat het kijken naar hen duizelig maakt. Linksonder bijvoorbeeld klimt een man met behulp van een ladder op een platform. Hij ziet een kleine tempel voor zich. Hij kan naast de slapende man gaan staan en hem wakker maken om te vragen waarom het schelpvormige bassin in het midden leeg is. Vervolgens kan hij naar de trap rechts gaan, met de bedoeling deze op te lopen. Maar dan is het al te laat! Wat van links uit een trap leek, is plotseling de onderkant van een booggewelf geworden. Hij zal merken dat het platform, eens de vaste grond onder zijn voeten, nu plafond is, en met een ijselijke gil zal hij omlaag storten. De grens tussen linker en rechterdeellaat zich niet ongestraft overschrijden. 

Het sterkst zullen we de visuele schok wellicht ervaren bij het bekijken van de twee bazuinblazers ter weerszijden van deze grens. De blazer links kijkt vanuit het venster op het kruisgewelf van een tempeltje. Hij kan naar buiten klimmen, op dat gewelf gaan staan en vandaar op het platform springen. Laten we nu onze blik gaan naar de bazuinblazer, iets lager, rechts, dan ziet deze een overhangend gewelf boven zich. En hij zal het wel uit zijn hoofd laten om op het platform te springen, want hij kijkt in een afgrond. Het platform is voor hem onzichtbaar, omdat het in zijn helft van de prent naar achteren steekt. 

Prentententoonstelling Deze vreemd verwrongen litho uit 1956 geeft voor een groot deel een oudere prent van Escher weer: de kleurenhoutsnede Senglea uit 1935. Rechts onderaan zien we de ingang van een galerij waarin een prenten tentoonstelling wordt gehouden. Gaan we helemaal naar links, dan zien we een jongeman staan die één van de tentoongestelde prenten aan de wand bekijkt. Hij ziet op die prent een schip en verderop, linksboven dus, de huizen van Senglea langs de kade. Laat hij zijn blik vervolgens naar rechts dwalen, dan ziet hij de huizenrij zich voortzetten tot aan de rechterrand van de prent. Als hij zijn blik dan naar beneden richt, ziet hij een hoekhuis. Onderin dat hoekhuis ziet hij de ingang van een galerij, waarin een prentententoonstelling wordt gehouden; helemaal links ziet hij een jongeman staan, die één van de tentoongestelde prenten aan de wand bekijkt. dus de jongeman staat zelf op de prent die hij aan het bekijken is! 

De hele truc berust hierop, dat Escher een netwerk voor deze prent heeft gevonden dat een gesloten ringvormige uitdijing van het vlak markeert. Aan de hand van het schetsje op de vorige pagina is dit vernuftige netwerk goed te verklaren. Rechts onderaan in het grote vierkant is een klein 'vierkantje' getekend. Langs de onderrand naar links wordt dit vierkantje steeds groter; tegen de linker rand heeft het een lineaire vergroting van vier maal bereikt. Langs de linkerkant naar boven wordt nog eens een vergroting van vier maal gerealiseerd, zodat daar een vierkantje dat oorspronkelijk 1x1 mm was, nu 16xI6 mm geworden is. Deze uitdijing zet zich langs de bovenrand naar rechts voort, en daarna langs de rechterrand naar beneden, waar de totale vermenigvuldigings- factor 256 is geworden. In het figuurtje zijn slechts twee stappen van de vergroting weergegeven. In feite doet Escher dat ook in de prent: van rechtsonder naar linksboven zien we de galerij groter worden. De laatste twee stappen zouden onmogelijk binnen het vierkant kunnen worden uitgevoerd, wegens ruimtegebrek. Het is een slimme vondst om nu, voor de laatste twee stappen, de aandacht te vestigen op één van de prenten in de galerij; deze kan binnen het vierkant nog twee maal de vergroting ondergaan. Ten slotte laat Escher de 256 maal vergrote toegangspoort op de prent samenvallen met het uitgangspunt. De oorspronkelijke ingang van de galerij is daarmee opgenomen in de prent van de prent; de kring is gesloten. 

 

Belvedère De belvedère op deze litho uit 1958 wordt voor een deel gebruikt als gevangenis. Het zou dus best eens kunnen dat de uitzichttoren deel uitmaakt van een vorstelijk paleis. Ook de aard van de bezoekers zou daarop kunnen duiden. Het deel bovenop de gevangenis is van een bijzondere architectuur;

 het lijkt op de projectie van een gebouw, van een driedimensionale werkelijkheid, maar het kan in onze driedimensionale wereld hele maal niet bestaan, net zomin als de kubusachtige vorm, die de jongeman op de bank bestudeert. Het lijkt alsof de bovenste verdieping van de belvedère loodrecht staat op de daaronder liggende. Dit wordt extra beklemtoond door de vrouwen de man rechts. Ze bevinden zich precies boven elkaar, maar hun blikrichtingen staan loodrecht op elkaar. Met de acht pilaren waarmee beide verdiepingen aan elkaar zijn verbonden, is ook iets eigenaardigs aan de hand. Alleen de uiterst rechtse en de uiterst linkse gedragen zich normaal, de andere zes verbinden steeds een voorkant met een achterkant en moeten dus diagonaalsgewijs door de midden verdieping lopen.

De stevig geconstrueerde ladder lijkt kaarsrecht; toch staat het boveneinde duidelijk tegen de buitenkant van het gebouw, en de onderkant staat erin. Wie midden op de ladder staat, kan niet zeggen of hij buiten, dan wel binnen het gebouw is; naar beneden kijkend, zal hij zeggen: binnen, maar naar boven kijkend moet hij wel constateren: buiten.

Knippen we de prent horizontaal doormidden op de plaats waar de pilaren elkaar schijnen te kruisen, dan houden we twee volkomen normale delen over: het is een kwestie van het aanbrengen van onmogelijke verbindingen, net zoals dit het geval is bij de kuboïde die de jongeman peinzend in zijn handen houdt.

Waterval Deze litho uit 1961 is gebaseerd op de driebalk van Penrose. Drie loodrecht op elkaar staande balken vormen schijnbaar een ruimtelijk voorwerp. Bij de hoekpunten klopt alles, maar als men van het ene hoekpunt naar het andere gaat, merkt men dat de verbinding niet klopt. Escher gebruikt in zijn voorstelling een combinatie van drie zulke driebalken. Het water blijft eindeloos doorstromen!

 

Een pagina uit Eschers werkschrift met zijn regelmatige vlakverdelingssysteem (1942)

 

HET ONEINDIGE 

In dezelfde periode waarin Escher elke mogelijkheid aangreep om ruimtelijk niet bestaanbare figuren te creëren, hield hij zich bezig met het uitbeelden, het afbeelden van het oneindige. De belangstelling voor alles wat eindeloos in ruimte of tijd is, had Escher reeds lang. Als hij het had over zijn drang om het oneindige uit te beelden, betrok hij er ook zijn regelmatige vlakverdelingen bij en de houten bollen waarin en waarop hij zijn congruente figuren sneed. Maar noch de vlakvullingen, noch de bollen hadden de primaire bedoeling het oneindige uit te beelden.

Ruiters vlakverdelings studie, tekening juni 1946


Ruiter, driekleurenhoutsnede, juli 1946


Het trommeltje dat Escher in 1936 ontwierp voor de jubilerende Verblifa



De driekleuren houtsnede Sengalea uit oktober 1935 is voor een groot deel terug te vinden in de litho Prentententoonstelling uit mei 1956

Na 1955 gebruikte hij een ander wiskundig principe om het oneindige te benaderen: hij stapte van congruente figuren over op gelijkvormige. Het was nu mogelijk om de figuren steeds kleiner te maken, tot ze de grens bereikt hadden van wat nog met het blote oog zichtbaar is; zo konden op een beperkte oppervlakte toch oneindig veel figuren aanwezig zijn.

Aanvankelijk was het resultaat nog onbevredigend. In de houtsneden Deling en Kleiner en kleiner, beide uit 1956, hinderde het hem, dat de rand van zijn prent uitbreiding toeliet met steeds grotere figuren; het eindeloze was nog niet gevangen binnen de omlijsting van de prent. De houtsnede Draaikolken uit 1957 gaf al een betere oplossing. Maar in 1958 zag Escher in een boek van de wiskundige prof. H. S. M. Coxeter een figuur die hem in verrukking bracht. Zonder de zin van de figuur in de context van Coxeters boek te begrijpen, zag hij er meteen in wat hij voor zijn oneindigheidsbenadering zocht. Hij ontdekte zelf hoe de figuur te construeren was, en vulde hem met visjes, oneindig veel visjes. Zo ontstond de houtsnede Cirkellimiet I. In De Wereld van het zwart en wit (Amsterdam 1959) schreef hijzelf hierover: '[de prent] veraanschouwelijkt de toepassing van een methode, een weg die zou kunnen leiden tot het ontstaan van een volmaakt tweedimensionaal heelal, maar het zij verre van mij te beweren, dat in dit specifieke voorbeeld de volmaaktheid inderdaad zou zijn bereikt. Dit rudimentaire vissnoer motief, zoals het zich in het centrum van de prent in grootste omvang vertoont, driemaal in witte, driemaal in zwarte gedaante, laat zeer veel te wensen over wat expressiviteit betreft. En tóch bevredigt mij dit resultaat als iets waar ik jaren lang tevergeefs naar heb gezocht. De omvang van mijn vispatronen, maximaal van grootte in het centrum, slinkt gaandeweg naar buiten toe en bereikt de limiet van het oneindig kleine formaat en tevens van het oneindig grote aantal in een cirkel die alles omsluit.'

Toen Escher dit schreef, wist hij nog niet dat hij in hetzelfde jaar waarin zijn artikel verscheen, een kleurenhoutsnede klaar zou krijgen waarin hij zijn bedoelingen nog veel beter verwezenlijkt zou zien (Cirkellimiet III). Hij ging hier niet uit van het schema dat hij met behulp van Coxeters boek vond, maar van een netwerk dat hij daaruit afleidde; de drie lijnen door het middelpunt zijn verdwenen. Zelf schreef hij hierover in 1968, in de catalogus van zijn grote Haagse tentoonstelling: 'In de kleurenhoutsnede Cirkellimiet III zijn de gebreken [van Cirkellimiet I] grotendeels verholpen. Er zijn nu alleen nog maar series «met doorgaand verkeer»: alle vissen van dezelfde serie hebben ook dezelfde kleur en zwemmen elkaar, kop aan staart, achterna langs een cirkelvormige baan van rand tot rand. Hoe dichter zij het centrum naderen, hoe groter zij worden. Vier kleuren zijn nodig opdat elke rij in haar geheel met de omgeving contrasteert. Geen enkele component van al deze reeksen die van oneindig ver als vuurpijlen loodrecht uit de limiet opstijgen en er weer in teloorgaan, bereikt de grenslijn ooit.'

In 1964 maakte hij Vierkantlimiet, een kleurenhoutsnede waarin hetzelfde idee volgens een ander schema in een vierkant is uitgewerkt. Hij was zelf blij met het resultaat en stuurde Coxeter een druk van de prent. Deze gaf een ietwat teleurstellend commentaar: 'Heel aardig, maar gewoon Euclidisch, dus niet erg interessant. De cirkellimieten zijn belangwekkender, want: non-Euclidisch.' 

In al de prenten die als titel. limiet of Levensweg meekregen, gebruikte Escher zijn vaardigheid in de regelmatige vlakverdeling om de prent te vullen met gelijkvormige, herkenbare figuren. In de prent waarmee hij zijn oeuvre afsloot, de houtsnede Ringslangen uit 1969, heeft Escher het uitbeelden van oneindigheid op nog elegantere wijze opgelost, en dat zonder gebruik te maken van één van zijn regelmatige vlakverdelingspatronen.

Op de voorschetsen is aan de buitenrand van de cirkel het schema van de 'Coxeter-prenten' te zien. Het centrum vertoont hier echter niet het motief (de ring van een maliënkolder) op zijn grootst, maar is ook weer een limiet van de prent naar het oneindig kleine. Het netwerk voor deze tour-de-force is een eigen vinding van Escher en veel ingewikkelder dan in de tekening die hij aan Coxeter ontleende. De drie slangen die de prent boven de pure abstractie uittillen, zijn geen afbeelding van een bestaande slang; ze zijn een eigen constructie, die ontstond uit het bekijken van een aantal foto's van slangen uit enige boeken die Escher daarvoor had aangeschaft.

Opvallend in deze prent, die ons zowel aan de rand als in het middelpunt naar de limiet van het oneindige voert, is dat Escher, in tegenstelling tot zijn voorafgaande oneindigheidsbenaderingen, geen poging heeft gedaan om ook nog de allerkleinste cirkeltjes die men zou kunnen zien, weer te geven. Hij heeft willen volstaan met de suggestie van het eindeloos kleiner worden. 

 

ESCHER ALS AMATEUR-ASTRONOOM 

 oen Escher zich in 1941 in Nederland vestigde, werd hij lid van de Nederlandse Vereniging voor Weer- en Sterrenkunde, die lezingen organiseerde en een blad uitgaf (Hemel en Dampkring). Zijn interesse voor astronomische en meteorologische verschijnselen nam gestaag toe; op een gegeven ogenblik ging hij ertoe over, zijn waarnemingen (hij bezat een 60 mm lenzenkijker) nauwkeurig te noteren. Een schrift met zijn waarnemingen in de zomer van 1944 is bewaard gebleven. Op 17 juli maakte hij daarin de volgende aantekening. 'De heldere avondhemel van gisteren" deed mij besluiten tot een poging om, voor het eerst sedert lange tijd, de sterrenkijker weer eens voor de dag te halen. Al weken lang wachtte ik op een geschikte avond, omdat ik de laatste maand een uitvoerige sterrenkaart getekend had, gedeeltelijk met de hulp van George, en tevens lijsten had aangelegd van allerlei voor amateurs belangwekkende objecten en algemene gegevens over vaste sterren.'

Hij bekeek in die nacht onder meer dubbelsterren en sterrenstelsels. 'De beroemde spiraalnevel van Andromeda, die ik vroeger al herhaalde malen bekeek en die met het blote oog als een zwakke lichte vlek zichtbaar is, wordt er door de kijker niet veel mooier op: hij blijft een vormloos waas, maar geeft, door de wetenschap van zijn geweldige afstand, toch een mysterieuze sensatie.'

De volgende nacht zette hij zijn waarnemingen voort. 'Er was geen wolkje aan de gehele hemel te zien; het beloofde een prachtige nacht ter observatie te worden. Ik ving mijn waarnemingen aan omstreeks middernacht en zette ze onafgebroken voort tot omstreeks kwart voor vier, toen de ochtendschemering de hemel merkbaar lichter deed worden. Van de vijftien dubbelsterren die ik op het programma had gezet kon ik er veertien scheiden, waarbij inbegrepen de vijf waarbij het mij eergisteren lukte benevens de drie waarbij ik het tevergeefs poogde! Ik zal ze hieronder één voor één vermelden, gerangschikt naar de onderlinge afstand der componenten.' Een gedeelte van Eschers lijst van vijftien waarnemingen staat hieronder afgebeeld. Iedere amateurastronoom zal deze lijst indrukwekkend vinden; de dubbelsterren liggen vrij verspreid aan de hemel, en het getuigt van een uitstekende kennis van de sterrenbeelden als men in staat is, al deze objecten binnen een paar uur met de kijker waar te nemen. En Escher had nog meer op zijn programma staan! 'Behalve deze vijftien dubbelsterren trachtte ik wederom de ringnevel van de Lier te vinden, hetgeen mij dadelijk lukte!, wellicht omdat de atmosfeer zo zuiver was. Hij staat tussen β en y Lyrae, iets dichter bij Y en maakt de indruk van een tamelijk scherp begrensde, weinig met de hemel contrasterende grijze schijf. Het deed mij denken aan een zwakke vingerafdruk op het hemelgewelf (geen duim, maar bijvoorbeeld een middelvinger).'

Ook in latere jaren, toen Escher niet meer zo'n fanatiek waarnemer was, bleven de hemelverschijnselen hem interesseren, zoals onder meer blijkt uit zijn Rotary-lezing over de zeereis naar Canada.

 

Een deel van een pagina uit Eschers aantekenschrift; hij heeft hier dubbelster-waarnemingen genoteerd en van opmerkingen voorzien 


Lees meer →